Actuellement pensionné, je souhaite poursuivre quelques activités dans mes domaines d'expérience et partager cette dernière. C'est une synthèse de cette offre (en continuelle adaptation !) que vous trouverez sur ces pages.
Culture code.
Je me sers ici de mes formations en sciences humaines, pour donner du sens à mes connaissances techniques informatiques. Mon objectif est socio-culturel, c.-à-d., en partant le plus souvent de l'aspect informatique (plutôt que numérique), de permettre aux personnes à qui je m'adresse, de s'approprier "les choses" et de prendre conscience de ce qui, dans leur environnement, les détermine, les gouverne, ou simplement les influence.
Aie confiance !- Développement
- Robotique
- Gestion de projet
- Histoire de l'informatique
- L'arbre des possibles
Systèmes de numération.
On s'adresse sur cette page uniquement aux rationnels positifs; exemple : 7 | 12.15 | 0 | 0.235 | 25 | etc. Le séparateur décimal utilisé est le point (.). La présentation en fraction n'est pas supportée.
Définitions.
- Système de numération : Mode de représentation des nombres. Les nombres expriment une quantité.
- Base de numération : Sur Wikipédia, on peut lire : « En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l'écriture des nombres dans la numération positionnelle N-adique, ces puissances définissant l'ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. ». « N-adique » est un de ces mots savants (particulièrement compliqué pour les non-initiés tant qu'il n'est pas défini, - comme c'est régulièrement le cas sur wikipedia en mathématiques) et qui veut dire qu'un nombre a « n » chiffres et que la position d'un chiffre dans ce nombre est relative à un maximum : « n ». Ben, oui; on n'a jamais vu un nombre de « n » chiffres avec un chiffre « n+1 ». Pas de quoi casser « n » pattes à un canard ! ;-).
Une base de numération définit également le nombre de chiffres du système de numération. Par exemple, en base 7, il y aura 7 chiffres : 0,1,2,3,4,5,6. $$2041\ \text{en base 7 sera égal à} \ 2 * 7^3 + 0 * 7^2 + 4 * 7^1 + 1 * 7^0 = 686 + 0 + 28 + 1 = {715}_{ dec}$$ - Chiffres : Un chiffre est un symbole de la base de numération. Il sert à composer les nombres. Sa position dans le nombre définit son ordre de grandeur (par exemple en décimal, unités, dizaine, etc.). En base 12, il y aura 12 chiffres qu'on peut représenter ainsi : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B (mais on aurait pu aussi bien écrire : A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K, ça n'est qu'une question de convention !).
- Nombre : Les nombres sont composés d'un ou plusieurs chiffres et expriment une quantité. 123 est un nombre. Et 5 ? Chiffre ou nombre ? Ca dépend du contexte. Dans 2543, 5 est un chiffre, car il a juste pour fonction d'être un symbole de représentation du nombre en position 3. $$\text{c.-à-d.,}\ = \text{à}\ 5 * \text{base}^2\quad \text{dans}\quad 2 * \text{base}^3\ + 5 * \text{base}^2\ + 4 * \text{base}^1\ + 3 * \text{base}^0 = {2543}_{(base)}$$ Par contre dans « J'ai 5 pommes », 5 est un nombre car il exprime une quantité de pommes.
Méthodes de changement de base.
Base quelconque vers décimale, partie entière.
- b = base
- e = chiffre / symbole de la partie entière du nombre à convertir
- n = nombre de chiffre de la partie entière du nombre à convertir
Forme générale : $$e_{n} * b^{n-1} + \ldots + e_2 * b^1 + e_1 * b^0 = \sum_{i=n}^1 e_i * b^{i-1}$$
Exemple avec 1010 en base 2 vers son équivalent en base décimale : $$1010_{(2)} = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10_{(10)}$$
Base quelconque vers décimale, partie décimale.
- b = base
- d = chiffre / symbole de la partie décimale du nombre à convertir
- n = nombre de chiffre de la partie décimale du nombre à convertir
Forme générale : $$d_1 * b^{-1} + d_2 * b^{-2} + \ldots + d_n * b^{-n} = \sum_{i=1}^{n} d_i * b^{-i}$$
Exemple avec 0.1011 en base 2 vers son équivalent en base décimale : $$0.1011_{(2)} = 1 * 2^{-1} + 0 * 2^{-2} + 1 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4} = 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.6875_{(10)}$$
Base décimale vers base quelconque, partie entière.
- b = base
- e = partie entière du nombre à convertir
- c = chiffre de la partie entière du nombre converti
- n = nombre de chiffre de la partie entière du nombre converti
Forme générale : $$ ((e \bmod b) = c_n) (((e = \lfloor e / b \rfloor) \bmod b) = c_{(n-1)})\ \ldots\ (((e = \lfloor e / b \rfloor (\gt0)) \bmod b) = c_1)$$
Exemple avec 10 en base 10 vers son équivalent en base binaire : $$10_{(10)} = (10\mod 2)\to\mathbf{0}\ (5\mod 2)\to\mathbf{1}\ (2\mod 2)\to\mathbf{0}\ (1\mod 2)\to\mathbf{1} = 1010_{(2)}$$
Base décimale vers base quelconque, partie décimale.
- b = base
- d = partie décimale du nombre à convertir
- c = chiffre de la partie entière du nombre converti
- n = nombre de chiffre de la partie décimale du nombre converti
Il est difficile de formaliser ce cas sous une forme générale, alors voici la procédure :
- on multiplie d par b
- on retient la partie entière inférieure du résultat comme premier c
- on retire cette partie entière inférieure de ce résultat, qui devient le nouveau d
- on recommence la procédure au début jusqu'à ce que la partie décimale de d soit égale à 0 ou, si ça n'arrive pas, jusqu'à un nombre choisi de décimales
Exemple avec 0.6875 en base 10 vers son équivalent en base binaire : $$0.6875_{(10)} = (0.6875*2=1.375)\to\mathbf{1}\ (0.375*2=0.750)\to\mathbf{0}\ (0.750*2=1.5)\to\mathbf{1}\ (0.5*2=1.0)\to\mathbf{1}\ = 0.1011_{(2)}$$
Exemple avec 0.6875 en base 10 vers son équivalent en base quaternaire : $$0.6875_{(10)} = (0.6875*4=2.75)\to\mathbf{2}\ (0.75*4=3.0)\to\mathbf{3}\ = 0.23_{(4)}$$
Notez bien ce cas : 0.6875 en base 10 vers son équivalent en base ternaire : $$0.6875_{(10)} = (\underline{0.6875}*3=2.0625)\to\mathbf{2}\ (0.0625*3=0.1875)\to\mathbf{0}\ (0.1875*3=0.5625)\to\mathbf{0}\ (0.5625*3=1.6875)\to\mathbf{1}\ (\underline{0.6875}*3\ \ldots\ = 0.20012001\ \ldots\ _{(3)}$$ La suite des décimales est infinie. C'est pourquoi le formulaire de conversion « Base décimale vers base quelconque » ci-dessous contient un champ d'options sur le nombre maximal de décimales autorisées.
0.5625
